Question

设A为s×n矩阵，证明存在一个非零的n×m矩阵B使得AB=0的充分必要条件是r(A)<n.

Answer 1

可以用齐次线性方程组有非零解的条件证明。

即方程组AX=0有非零解，

所以|A|=0；
反之：若|A|=0，则AX=0有非零解，

则存在非零矩阵B，满足AB=0。

扩展资料：

n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。

注： 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。

若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现：

（1） 求出全部的特征值；

（2）对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量。

Answer 2

因为a是m*n矩阵，则r(a)<=n
假设r(a)=n，则方程ax=0只有零解（因为其解空间的维数=n-r(a)=0）
又ab=o，则对于b的每个列向量b，均有ab=o
即b为方程ax=0的解，故b=o，从而b=o
与条件b非零矛盾，假设不成立，r(a)<n

Answer 3

可以用齐次线性方程组有非零解的条件证明。请采纳，谢谢！

追问

谢谢啊，不过能否就用矩阵的秩以及性质，(和矩阵初等变化)解

追答

Answer 4

把A理解为系数矩阵，B为解矩阵，B非零，说明A的行向量线性相关，所以r（A）<n