设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点M,若三角形F1F2M为等腰直角三角形, 求离心率
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解：
∵过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点M
∴∠PF2F1=90°
∵△F1PF2为等腰直角三角形
∴|PF1|=|F1F2|
又直线PF1方程为：x=c，代入椭圆方程x²/a²+y²/b²=1得：
|PF2|=b²/a
∴b²/a=2c
即(a²-c²)/a=2c
a²-2ac-c²=0
得a=(1+√2)c，(a=(1-√2)c<0舍去)
∴e=c/a=√2-1
∵过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点M
∴∠PF2F1=90°
∵△F1PF2为等腰直角三角形
∴|PF1|=|F1F2|
又直线PF1方程为：x=c，代入椭圆方程x²/a²+y²/b²=1得：
|PF2|=b²/a
∴b²/a=2c
即(a²-c²)/a=2c
a²-2ac-c²=0
得a=(1+√2)c，(a=(1-√2)c<0舍去)
∴e=c/a=√2-1
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