Question

已知双曲线C的方程为Y^2／a^2-X^2／b^2=1（a＞0，b＞0)，e=（根号5）／2， 顶点到渐近线距离为（2倍根号5

已知双曲线C的方程为Y^2／a^2-X^2／b^2=1（a＞0，b＞0)，e=（根号5）／2，

顶点到渐近线距离为（2倍根号5）／5.

①求C的方程

②P是双曲线上一点，A，B两点在C的两条渐近线上，且分别在一，二象限，若

向量AP=λ向量PB，λ∈[1／3，2]，求三角形AOB面积取值范围
我在线上，请大家快点 ,答得好的还会给分值哦！！！！！！！！！！！！ 求求大家快点我急用。

Answer 1

解：
由于：双曲线y^2/a^2-x^2/b^2=1
则其上焦点为(0,c),上准线:y=a^2/c
上顶点为(0,a)一条渐近线方程为：y=(a/b)x
由于：上焦点到上准线的距离是1/2
则有：c-a^2/c=1/2 -----(1)
又：顶点到渐近线的距离为√3/2
则有：(0,a)到y=(a/b)x的距离为√3/2
将直线化为一般式得：ax-by=0
利用点到直线距离公式，则有：
d=√3/2=|0-ba|/√[a^2+b^2]=ab/c -----(2)
又：a^2+b^2=c^2 -----(3)
则联立(1)(2)(3)可得：
a=√3,b=1
则：双曲线方程为：y^2/3-x^2=1

Answer 2

vdvds

Answer 3

为了书写方便记（k=入，且1/3=<k<=2）。易知双曲线两渐近线为y=(+-)2x,因此可设A(x1,2x1),B(x2,-2x2),P(xo,yo)其中x2<0<x1。得|OA|=5^0.5x1,|OB|=-5^0.5x2，设渐近线y=2x与y轴夹角为@,则有tan(pi/2-@)=cot@=2,pi=3.141592...则易得sin@=1/5^0.5,cos@=2/5^0.5,得sin2@=2sin@cos@=4/5,于是三角形AOB面积可表示为S=(1/2)＊|OA|＊|OB|＊sin2@=-(1/2)*5(x1x2)*(4/5)=-2x1x2,又向量AP=k向量PB，由定比分点公式（或向量坐标运算）易得xo=(x1+kx2)/(1+k),yo=2(x1-kx2)/(1+k)，又点P(xo,yo)在曲线上得4(x1-kx2)^2/[4(1+k)^2]-(x1+kx2)^2/(1+k)^2=1,化简整理得-4kx1x2=(k+1)^2,进而三角形面积S(k)=-2x1x2=(1/2)(k+1/k+2)>=(1/2)[2(k＊1/k)^0.5+2]=2,(当仅当k=1/k，即当k=1取等号),又S(1/3)=8/3>S(2)=9/4。因此，2=<S(k)<=8/3即为三角形面积取值范围。