Question

已知双曲线C的方程为x2/a2-y2/b2=1,a>0,b>0,离心率为2/根号13. 1.求双曲线方程 2.若A，B分别是两渐近线上

点，AB是位于第一、第四象限间的动弦，三角形AOB的面积为定值27/4，且双曲线C经过AB的一个三等分点P，试求双曲线的方程。
第一题我已求出，请教第二题！

Answer 1

推荐：我们易求得渐进线方程：y=(+-)3x/2.令渐近线y=3x/2倾斜角为@,则tan@=3/2,sin2@=2sin@cos@=(2sin@cos@)/[(sin@)^2+(cos@)^2]=2tan@/[1+(tan@)^2]=12/13.不防令A(2t1,3t1)B(2t2,-3t2),得lOAl=(13^0.5)t1,lOBl=(13^0.5)t2，于是S三角形AOB=(1/2)lOAllOBlsin2@=(1/2)*(13t1t2)*(12/13)=6t1t2=27/4，得t1t2=9/8.由向量AP=2PB,得P[(2t1+2*2t2)/(1+2),(3t1+2(-3t2))/(1+2)],即P((2t1+4t2)/3,t1-2t2),第一问题我们知b^2=9a^2/4，于是双曲线方程可写为x^2-(4/9)y^2=a^2,P点在双曲线上则有：[(2t1+4t2)/3]^2-(4/9)(t1-2t2)^2=a^2,即(t1+2t2)^2-(t1-t2)^2=(9/4)a^2得到8t1t2=(9/4)a^2,又t1t2=9/8，所以a^2=4,那么双曲线方程为x^2/4-y^2/9=1

Answer 2

把P(x,y)用x1,x2表示出来(三等分点),推之有:(3x)平方减(2y)平方等于8x1x2.由e值可知渐近线
易知tanA=3/2,cos2A=-5/13,sin2A,又知三角面积可推知x1,x2
可推知x1x2=9/2