Question

怎么求空间平面的方程？

Answer 1

设平面内该点为(X1,Y1,Z1),法向量为(a，b，c)

设该平面另外一点为(X,Y,Z)
根据平面法向量垂直于平面得:
(X-X1)a+(Y-Y1)b+(Z-Z1)c=0
而由题干知法向量的坐标和平面内该点的坐标都知道。
可求得另外一点(X,Y,Z)X,Y,Z的关系,即为该平面方程。

拓展:

平面方程几种形式如下:

一、截距式

设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,若D不等于0，取a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C,则得平面的截距式方程：x/a+y/b+z/c=1 

它与三坐标轴的交点分别为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)，其中，a,b,c依次称为该平面在x,y,z轴上的截距。

二、点法式

n为平面的法向量，n=(A,B,C),M,M'为平面上任意两点，则有n·MM'=0, MM'=(x-x0,y-y0,z-z0)，

从而得平面的点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 [1] 

三点求平面可以取向量积为法线

任一三元一次方程的图形总是一个平面，其中x,y,z的系数就是该平面的一个法向量的坐标。

两平面互相垂直相当于A1A2+B1B2+C1C2=0

两平面平行或重合相当于A1/A2=B1/B2=C1/C2

点到平面的距离=abs(Ax0+By0+Cz0+D)/sqrt(A^2+B^2+C^2) 求解过程:面内外两点连线在法向量上的映射Prj(小n)(带箭头P1P0)=数量积

三、一般式

Ax+By+Cz+D=0 ，其中A,B,C,D为已知常数，并且A,B,C不同时为零。

四、法线式

xcosα+ycosβ+zcosγ=p，其中cosα、cosβ、cosγ是平面法矢量的方向余弦，p为原点到平面的距离。

参考资料;

平面方程 百度百科

Answer 2

要求一个空间平面的方程，可以使用以下两种方法：

方法一：已知平面上的三个点

如果已知平面上的三个点A(x1, y1, z1)、B(x2, y2, z2)和C(x3, y3, z3)，可以使用向量叉积来求解平面的法向量，然后再利用点法式方程确定平面的方程。

1. 计算向量AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)和向量AC = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1)的叉积，得到法向量N。
2. 使用点法式方程 Ax + By + Cz + D = 0，将已知的一个点A的坐标代入，求解常数D。
3. 得到平面的方程为 Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为法向量N的分量。

方法二：已知平面的法向量和一个点

如果已知平面的法向量N(A, B, C)和平面上的一个点P(x0, y0, z0)，可以直接使用点法式方程求解平面的方程。

1. 使用点法式方程 Ax + By + Cz + D = 0，将已知的点P的坐标代入，求解常数D。
2. 得到平面的方程为 Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为法向量N的分量。

需要注意的是，以上两种方法都可以求解平面的方程，但需要确保所选取的点或向量是在同一个平面上的。