Question

已知二次函数f(X)=ax^2+bx+a的对称轴为X=7/4,且方程f(x)=7X+a有两个相等的实数根 (1)求f(x)的解析式 (2)求

已知二次函数f(X)=ax^2+bx+a的对称轴为X=7/4,且方程f(x)=7X+a有两个相等的实数根
(1)求f(x)的解析式
(2)求f(x)在[1,3]上的值域
(3)是否存在实数M (M大于0).使F(X)的定义域为[M,3],值域为[1,3/M]若存在,求出M的值

Answer 1

解：(1)因为二次函数f(x)=ax^2+bx+a的对称轴为x=7/4
所以-b/2a=7/4
又方程f(x)=7x+a有两个相等的实数根
所以方程f(x)=7x+a的判别式Δ=(b-7)^2-4a*0=0
故b=7
所以a=-2
所以f(x)=-2x^2+7x-2

(2)f(x)在[1,3]上的最大值是f(7/4)=-2*(7/4)^2+7*(7/4)-2=33/8
f(x)在[1,3]上的最小值是f(3)=-2*3^2+7*3-2=1
所以f(x)在[1,3]上的值域是[1,33/8]

(3)由(2)知f(3)=1
若M=7/4,则3/M=12/7≠33/8,所以不符合
那么M＞7/4
则f(M)=-2M^2+7M-2=3/M
所以2M^3-7M^2+2M+3=0
解得唯有M=3符合，其余解不符合
所以M=3