Question

已知二次函数Y=X2-〔M2＋8〕X＋2〔M2＋6〕,设抛物线顶点为A,与X轴交于B,C两点，问是否存在实数M,使三角形A

已知二次函数Y=X2-〔M2＋8〕X＋2〔M2＋6〕,设抛物线顶点为A,与X轴交于B,C两点，问是否存在实数M,使三角形ABC为等腰直角角形？如果存在，求出M的值；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

Y=X^-〔M^＋8〕X＋2〔M^＋6〕 (^表示平方)
=(x-(m^+8)/2)^-(m^+8)^/4+2(m^+6)
=(x-(m^+8)/2)^-(m^+4)^/4
则A点坐标为((m^+8)/2,-(m^+4)^/4)

设x1,x2分别是BC两点的x坐标
则x1+x2=m^+8,x1*x2=2(m^+6)

因AB=AC,要使ABC为等腰直角三角形则BC必为斜边，此时A点到X轴的垂直线段也为BC边的中线即A点y值的绝对值为BC线段的1/2
即2|-(m^+4)^/4|=|x1-x2| (1)
(x1-x2)^=(x1+x2)^-4x1*x2=(m^+8)^-4*2(m^+6)=(m^+4)^
则|x1-x2|=m^+4 (因m^+4>0)
由（1）得(m^+4)^/2=m^+4,(m^+4)^=2(m^+4),m^+4=2,m^=-2
因m为实数,m^>=0,所以不存在m^=-2
即不存在实数M,使三角形ABC为等腰直角三角形

Answer 2

解：若△ABC是等腰直角三角形，则∠BAC=90°，
设B、C两点的坐标分别为（x1，0）、（x2，0），x1＜x2，则x1、x2是方程x2-（m2+8）x+2（m2+6）=0的两个根，
∴x1+x2=m2+8，x1•x2=2（m2+6），
∴x1＞0，x2＞0，
∴BC=x2-x1，
∵（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=（m2+8）2-8（m2+6），
=（m2+4）2，
∴BC=m2+4，
∵由抛物线的顶点坐标可知，A点的纵坐标为，
8(m2+6)-(m2+8)24=2（m2+6）-(m2+8)24，
∴AD=(m2+8)24-2（m2+6），
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=2AD，
∴m2+4=(m2+8)22-4（m2+6），
解得m2=-2＜0，m2=-4＜0，都无意义．
故答案为：不存在实数m，使△ABC为等腰直角三角形．