Question

三角形ABC中，AD是BC边上的高，AB-BD=AC-CD，求证：三角形ABC是等腰三角形

Answer 1

由AB-BD=AC-CD，可得AB-AC=BD-CD

因为 AD平方=AB平方-BD平方=AC平方-CD平方，得AB平方-AC平方=BD平方-CD平方，（AB+AC）*（AB-AC）=（BD+CD）*（BD-CD），即，（AB+AC）*（AB-AC）=BC*（BD-CD），

如AB-AC=BD-CD不等于0则等式两边可约去，可得AB+AC=BC,与三角形两边之和大于第三边相矛盾，说明AB-AC=BD-CD=0，所以AB=AC

Answer 2

因AD是高，即角ADB和角ADC为直角
则AB^-BD^=AC^-CD^=AD^
(AB+BD)(AB-BD)=(AC+CD)(AC-CD)
因AB-BD=AC-CD,则AB+BD=AC+CD
(AB+BD)+(AB-BD)=(AC+CD)+(AC-CD)
2AB=2AC
AB=AC
所以三角形ABC是等腰三角形

Answer 3

两个直角三角形，有：
AD*AD=AB*AB-BD*BD=AC*AC-CD*CD
化简得：（AB+BD)*(AB-BD)=(AC+CD)*(AC-CD)
∵AB-BD=AC-CD①
两边约去得
AB+BD=AC+CD②
①+②得：AB=AC