Question

如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过点A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点且有BM=DM+CD，

(1)求证：点F是CD边的中点
(2)求证：∠MBC=2∠ABE
主要是求证（2）问！（1）问可以不证明！

Answer 1

1）证明：∵正方形ABCD，
∴AD=DC=AB=BC，∠C=∠D=∠BAD=90°，AB∥CD，
∵AF⊥BE，
∴∠AOE=90°，
∴∠EAF+∠AEB=90°，∠EAF+∠BAF=90°，
∴∠AEB=∠BAF，
∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠AFD，
∴∠AEB=∠AFD，
∵∠BAD=∠D，AB=AD，
∴△BAE≌△ADF，
∴AE=DF，
∵E为AD边上的中点，
∴点F是CD边的中点；

（2）证明：延长AD到G．使MG=MB．连接FG，FB，
∵BM=DM+CD，
∴DG=DC=BC，
∵∠GDF=∠C=90°，DF=CF，
∴△FDG≌△FCB（SAS），
∴∠DFG=∠CFB，
∴B，F，G共线，
∵E为AD边上的中点，点F是CD边的中点，AD=CD
∴AE=CF，
∵AB=BC，∠C=∠BAD=90°，AE=CF，
∴△ABE≌△CBF，
∴∠ABE=∠CBF，
∴∠MBC=∠AMB=2∠AGB=2∠GBC=2∠ABE，
∴∠MBC=2∠ABE．

Answer 2

(1):<D=<A,AB=AD <FAD+<AEB=90 <FAD+<AFD=90 <AEB=<AFD 所以三角形AEB全等于三角形DFA 所以AE=DF 又因为AE=DE=O.5AD 所以DF=FC=O.5DC