Question

在等腰梯形ABCD中，AD//BC,M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点 （1）求四边形MENF是菱形

（2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论.

Answer 1

因为N是BC的中点，所以CN=1/2CB
因为F是CF的中点，所以CF=1/2CM
又因为角BCM=角NCF
所以三角形BCM和三角形NCF相似
所以BM平行NF
同理EN平行MF
所以四边形MENF是平行四边形
因为梯形ABCD是等腰梯形
所以AB=DC，角A等于角D
因为M是AD中点
所以AM=MD
所以三角形ABM全等于三角形DCM
所以BM=CM
因为E、F分别是BM、CM的中点
所以EM=MF
所以四边形MENF是菱形

Answer 2

（1）证明：∵F、N分别为CM、BC中点，
∴FN‖BM,FN=1/2BM=ME
∴MENF是平行四边形
又∵ABCD是等腰梯形，M为BC中点
∴MB=MC
∴ME=MF
∴MENF为菱形
（2）设MB为a,高为h，则：
BC=根号2a
S△MBC=1/2MC*MB=1/2BC*h
即1/2a²=1/2*根号2a*h
∴a=根号2*h

Answer 3

EF交WN于O,OF=OE,,E、F分别是三角形BMN和三角形CMN中BM和CM的中点，O就是MN的中点，所以，OM=ON,所以四边形MENF是菱形（两条对角线垂直平分）
等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系
2MN大于BC大于MN