Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC,M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别为BM、CM的中点。 （1）试探索四边形MEN

Answer 1

证明：由三角形中位线定理可得EN∥CM且EN=1/2CM，FN∥BM且FN=1/2BM，
所以四边形MENF是平行四边形，
再由SAS可得△ABM≌△DCM，
2）、由△ABM≌△DCM
所以BM=CM，
所以EN=FN，
所以四边形MENF是菱形；
3）、连接MN MN垂直BC（2已证）
所以菱形ABCD的面积=(AD+BC)*MN/2=10 AD:BC=2:3
设：AD=2X BC=3X (2X+3X)*MN/2=10 得：MN=4/X
因为三角形MDC的面积=MD*MN/2 M是AD的中点 所以AM=PM=AD/2=X 因为E,F是BM,CM的中点 所以EF是三角形BMC的中位线
EF//BC 因为平行线间距离处处相等 所以S三角形EFP=S三角形EFN
因为SMEPF=SEPF+SEMF=SENF+SEMF=SMENF,而MENF是菱形，所以
SMENF=1/2(MN*EF),因为MN=4/X,EF是三角形BMC的中位线，所以
EF=1/2BC=3/2X，所以SMENF=1/2*3/2X*4/X=3，所以SMEPF=3

Answer 2

若四边形MENF是正方形时：高=底边长的一半
证明理由：给你思路自己整理吧
∠BMC=90°
△ABM≌CDM
∴△BMC是等腰直角三角形
过M点做BC的高

由等腰三角形三线合一可得

高也是直角三角形斜边（底边）的中线
再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得：
高=底边长的一半

Answer 3

亲，题目没说完吧？

追问

（1）试探索四边形MENF是什么图形？请证明你的结论。 （2）若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边BC有何数量关系？并说明理由。

追答

1、是平行四边形。不好意思，不好画图。
2、梯形的高等于BC的一半。当MN等于BN时，NE就垂直BM，该四边形就是正方形，故MN等于二分之一BC。