Question

求使关于x的方程（a+1）x²-（a²+1）x+2a³-6=0有整数根的所有整数a

Answer 1

a≠-1时,
原方程有整数根的必要条件是x1+x2=(a^2+1)/(a+1)=a-1+2/(a+1)是整数和x1x2=(2a^3-6)/(a+1)=2a^2-2a+2-8/(a+1)是整数,
即2/(a+1)是整数,8/(a+1)是整数,所以a+1=±1,±2,所以a=0,1,-2,-3
a=-1时,有解x=-4
综上,a的所有取值是-3,-2,-1,0,1

Answer 2

解：首先a+1可以＝0
注意是x的方程，没有说是x的一元一次还是一元二次
①当时一次方程时
a=-1
则原始化为
-2x-2-6=0
-2x=8
x=-4
符合
②当x≠-1时
若是整数根
则符合
x1+x2=(a^2+1)/2（a+1);
x1·x2=(2a^3-6)/(a+1);(根与系数的关系或者叫韦达定理)
则若x和a都是整数,则
设k=x1+x2=(a^2+1)/2（a+1);
m=x1·x2=(2a^3-6)/(a+1);
则
a^2+1=2k（a+1)①
2a^3-6=m（a+1)②
把①+②得
2a^3 +a^2 -5 =(2k+m)·（a+1);
则(2a^3 +a^2 -5)/（a+1)=(2a^2-a+1)-【6/（a+1)】为整数（立方差公式分解）
则可知【6/2a+1】∈Z(这个懂吧？高一的)
则a取值是
-7,-3,-2,0,1,2,5;
把上诉值一一代入原方程
则a=-7,-3,-2,2,5时原方程的△＜0
→故舍去
综上所述a=0或1或-1
不懂，请追问，祝愉快O(∩_∩)O~
追问
x1+x2=(a^2+1)/2（a+1);?
哪来的2
回答
这是韦达定理
x1+x2=-b/a（这里面a、b是泛指）