Question

在以ΔABC的AB、AC为边向外作正方形ABDE及ACGF，AH为BC上的中线，作AN⊥BC于点N，延长NA交EF于M点，求证：

在以ΔABC的AB、AC为边向外作正方形ABDE及ACGF，AH为BC上的中线，作AN⊥BC于点N，延长NA交EF于M点，求证： EM＝MF=AH。

Answer 1

延长AH到点P，使得：HP = AH ，连接PB、PC。

因为，BH = HC ，HP = AH ，
所以，ABPC为平行四边形，
可得：CP = AB ，∠ACP+∠BAC = 180°。

由∠ACP+∠BAC = 180°，∠EAF+∠BAC = 360°-∠BAE-∠CAF = 180°，
可得：∠ACP = ∠EAF 。

因为，在△AEF和△CPA中，
AE = AB = CP ，∠ACP = ∠EAF ，AF = CA ，
所以，△AEF ≌ △CPA ，
可得：∠AFE = ∠CAP 。

∠FAM = 180°-∠CAF-∠CAN = 90°-∠CAN = ∠ACH 。

因为，在△AFM和△CAH中，
∠AFM = ∠CAH ，AF = CA ，∠FAM = ∠ACH ，
所以，△AFM ≌ △CAH ，
可得：FM = AH 。

同理可得：EM = AH ，
所以，EM = MF = AH 。

Answer 2

EM＝MF=AH