Question

关于高一函数

函数y=f(x)的定义域为R，且满足f(x+y)=f(x)+f(y)，f(1/3)=1, 当x>0时，f(x)>0.

1、求f(0)的值；

2、判断函数的奇偶性；

3、若f(x)+f(2+x)<2,求x的取值范围
过程详细些吧~

Answer 1

1.
f(x+y)=f(x)+f(y)
代入 x=y=0

f(0)=f(0)+f(0)
所以 f(0)=0

2.
令y=-x
代入f(x+y)=f(x)+f(y)

f(0)=f(x)+f(-x)=0

所以 f(x)=-f(-x)
所以是奇函数

3.
根据 f(x+y)=f(x)+f(y)
所以 f(x)+f(2+x)=f(x*(x+2))

再令 x=y=1/3
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(2/3)=f(1/3)+f(1/3)=2

f(x)+f(2+x)<2
化为 f(x*(x+2))<f(2/3)

在判断函数单调性
令y>0
已知当y>0时，f(y)>0.
所以f(x+y)=f(x)+f(y)>f(x)

所以 f(x)是增函数

f(x*(x+2))<f(2/3)

所以 x*(x+2)<2/3

解得 -根号15/3-1<x< 根号15/3-1

Answer 2

用赋值法
设X,Y=0，则f(0)=f(0)+f(0)
所以f(0)=0