Question

数学函数问题，急！

设函数f(x)=ax^3+3/2(2a-1)x^2-6x(a不等于0）若函数f（x)在区间（-2，3）上是单调函数，试求实数a的取值范围。

Answer 1

f’(x)=3ax²+3（2a-1）x-6=3(x+2)(ax-1),
1.a>0时，x>1/a或x<-2时递增，-2<x<1/a时递减。
若函数f（x)在区间（-2，3）上是单调函数，则必有1/a≥3, 0<a≤1/3.
2.a<0时，分三个情况讨论：
①a<-1/2时，x>1/a或x<-2时递减，-2<x<1/a时递增。此时（-2，3）上不单调。
②a=-1/2时，f’(x)=-3/2(x+2)²≤0，函数在R上递减，所以f（x)在区间（-2，3）上是单调函数，符合题意。
③0>a>-1/2时，x>-2或x<1/a 时递减， 1/a <x<-2时递增。此时f（x)在区间（-2，3）上是单调函数，符合题意。
综上知：-1/2≤a≤1/3时，函数f（x)在区间（-2，3）上是单调函数。