Question

如图，点P是圆上的一个动点，弦AB＝根号3，PC是∠APB的平分线，∠BAC＝30°<1>求当角PAC=?时四边形PACB面

如图，点P是圆上的一个动点，弦AB＝根号3，PC是∠APB的平分线，∠BAC＝30°<1>求当角PAC=?时四边形PACB面积最<1>求当角PAC=?时四边形PACB面积最大.最大是几?
<2>求PA的长为多少时，四边形PACB是梯形？说明理由。
这题网上有原题，图也可以自己画，这是小孩初三的题目，他们没学正弦定理，不知道怎么判断何时面积最大，希望高手能站在他的认识水平上解答，谢谢了！

Answer 1

1)由图可知四边形PACB由三角形ABC和三角形PAB组成

∵∠CAB=CPB=30&ordm; 又∠APC=∠CPB=∠ABC=30&ordm;（PC是角平分线）

∴∠CAB=∠CBA=30&ordm; 

∴三角形ABC已知一边长度和两个角度故面积不变,要使四边形PACB面积最大,只需求出面积最大的三角形PAB即可

在三角形PAB中,AB边不变,其最长的高为过圆心O与AB垂直(即AB的中垂线)与圆O交点P,此时四边形PACB面积最大.此时三角形PAB为等边三角形(求解从略)

∴∠PAC=60+30=90&ordm;四边形面积最大

答案=3√3/4+√3/4=√3

2)要使四边形PACB为梯形,只需PA平行CB或AC平行PB 

先证AC平行PB时∠PAC为120度

因为AC平行PB则∠CPB=∠PCA(内错角)

又有∠CAB=∠CPB=30度(同弧所对圆周角相等)

所以∠APC=∠PCA=30度(PC为∠APB的角平分线)

∴PA=AC=1 

再证PA平行CB时∠PAC为60度

因为PA平行CB则∠APC=∠PCB=30度

则∠PBC=180-30-30=120度

∴∠APC=120-30=90度

∴△APC是直角三角形，且有∠PCA=30&ordm;

∴PA=2AC=2