Question

若a,b,c为△ABC的三边,且(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)为一完全平方式则△ABC是什么三角形？

A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D. 等腰直角三角形
要详细解答的，谢谢！

Answer 1

(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)
=3x^2+2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)
=3[x^2+2(a+b+c)x/3+(ab+bc+ca)/3]
为一完全平方式，则
(ab+bc+ca)/3=[(a+b+c)/3]^2
3(ab+bc+ca)=(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)
(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)=0
2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)=0
a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
a-b=0 a=b
b-c=0 b=c
c-a=0 c=a

a=b=c，三角形为等边三角形，选B.

Answer 2

(x+a)(x+b) + (x+b)(x+c) + (x+c)(x+a)

= 3x^2 + 2(a+b+c)x + ab + bc + ac = (√3x + m)^2

则有

√3m = a+b+c

m^2 = ab + bc + ac

即 （a+b+c)^2 = 3(ab +bc +ac)

化简 a^2 + b^2 + c^2 -ab -bc -ac = 0

2（a^2 + b^2 + c^2 -ab -bc -ac） = 0

即 a^2 - 2ab + b^2 + a^2 - 2ac + c^2 + b^2 - 2bc + c^2 =0

即 （a-b)^2 + （a-c)^2 + (b-c)^2 =0

所以 a=b,b=c,c=a

即 a=b=c

所以 △ABC 是等边三角形，选 B

GOOD LUCK~

Answer 3

(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)

=3x^2+2x(a+b+c)+(ab+bc+ca) 为一完全平方式

4(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)-12(ab+bc+ca)=

4(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=8(2a^2+2b^2+c^2-2ab-2bc-2ca)

=8[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]=0

a=b=c B.等边三角形

Answer 4

(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)=3（x平方）+2*（a+b+c)x+(ab+bc+ca)
已知等式为一完全平方式，则二次方程存在b平方-4ac=0
即4*【（a+b+c)平方】=4*3*（ab+bc+ca）
化简后为（a-b)平方+（b-c）平方+（c-a）平方=0
所以得a=b=c,即三角形为正三角形
所以选B