Question

如图，P为正方形ABCD的对角线上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，判断DP与EF的关系，并证明

Answer 1

DP=EF
证明：延长FP交AD于H,延长EP交CD于G
则易知AEPH, PFCG都是正方形 AEGD是矩形
所以PE=AE=GD PF=PG
由勾股定理EF²=PE²+PF² PD²=PG²+GD²
所以EF²=DP²
EF=DP

追问

DP是否垂直EF，若垂直怎么证明？

追答

不能先采纳再追问么?要讲道理
我提示下思路吧
过点F作FJ∥DP交DC于J,证明△CFJ≌△EFP，然后就简单了...

Answer 2

挺简单的
连接BP，四边形EPFB为矩形，

∵对角线相等，EF=BP
又∵AC为对角线，四边形ABCD为正方形
∴AD=AB，角BAP=角DAP
在△ABP和△ADP中
AB=AD
角BAP=角DAP
AP=AP（公共边）
∴△ABP≌△ADP（SAS）
∴BP=DP
∴DP=EF

追问

DP是否垂直EF，若垂直怎么证明？