Question

用极限的定义证明a^n/n!的极限是0，我是数学系的，请用定义证，级数法等勿扰。谢谢

Answer 1

lim a^n/n!=0

考虑：
|a^n/n!-0|
=|a^n| / n!
≤|a|^n / n!
=|a|*|a|*…*|a| / 1*2*…*n
取N=[|a|]+1>|a|
≤(|a|/1 * … * |a|/N) * (|a|/n)
记为c/n，其中因为a是有限数，故c也是有限数（即c有界）

对任意ε>0，存在N=max{[|a|]+1，c/ε}>|a|>0，当n>N，有|a^n/n!-0|<ε

根据定义，lim a^n/n!=0

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从对N赋值后开始看不太懂、、、求分析思路

追答

因为|a|是有限数，所以必定存在某个N，当n>N，就有n>|a| （因为n是要趋于无穷的）
考虑到|a|不一定是正整数，所以取N=[|a|]+1>a（|a|向下取整+1）
当n>N>a，自然，|a|/n<1
将原表达式进行放大，省去中间小于1的分数
就有：
|a|*|a|*…*|a| / 1*2*…*n≤(|a|/1 * … * |a|/N) * (|a|/n)
当N取定时，(|a|/1 * … * |a|/N)就是一个确定的有限数，|a|本身就是有限数
所以记：c=(|a|/1 * … * |a|/N)*|a|，明显是有限、有界数
|a|*|a|*…*|a| / 1*2*…*n≤(|a|/1 * … * |a|/N) * (|a|/n)=c/n
然后就用平常常见的做法去证明即可~~

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谢谢啦，麻烦你为我解答了