Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，向量 m =（2a+c，b）， n

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，向量 m =（2a+c，b）， n =（cosB，cosC），且 m ， n 垂直．（ I）确定角B的大小；（ II）若∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD=1，设BC=x，BA=y，试确定y关于x的函数式，并求边AC长的取值范围．

Answer 1

（ I）∵ m ⊥ n ，∴（2a+c）cosB+bcosC=0， 在△ABC中，由正弦定理得： a sinA = b sinB = c sinC =k≠0 ， ∴a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，代入得 k[（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC]=0，∴2sinAcosB+sin（B+C）=0，即sinA（2cosB+1）=0． ∵A，B∈（0，π），∴sinA≠0， ∴ cosB=- 1 2 ，解得B= 2π 3 ． （ II）∵S △ABC =S △ABD +S △BCD ， S △ABC = 1 2 xysin 2π 3 = 3 4 xy ， S △ABD = 1 2 yisn π 3 = 3 4 y ， S △BCD = 1 2 xsin π 3 = 3 4 x ， ∴xy=x+y， ∴ y= x x-1 ，x∈(1，+∞) ． 在△ABC中，由余弦定理得： A C 2 = x 2 + y 2 -2xycos 2π 3 =x 2 +y 2 +xy=（x+y） 2 -xy=（x+y） 2 -（x+y）= (x+y- 1 2 ) 2 - 1 4 ． ∵ x+y=xy≤ (x+y ) 2 4 ，x＞0，y＞0，∴x+y≥4， ∴ A C 2 ≥(4- 1 2 ) 2 - 1 4 ，∴ AC≥2 3 ． ∴AC的取值范围是： AC∈[2 3 ，+∞) ．