Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D地边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．（1）求证

如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D地边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．（1）求证：△ADE≌△BGF；（2）若正方形DEFG的面积为16cm 2 ，求AC的长．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°， ∴∠B=∠A=45°， ∵四边形DEFG是正方形， ∴∠BFG=∠AED=90°， 故可得出∠BGF=∠ADE=45°，GF=ED， ∵在△ADE与△BGF中， ∠BFG=∠AED GF=DE ∠BGF=∠ADE ， ∴△ADE≌△BGF（ASA）； （2）过点C作CG⊥AB于点G， ∵正方形DEFG的面积为16cm 2 ， ∴DE=AE=4cm， ∴AB=3DE=12cm， ∵△ABC是等腰直角三角形，CG⊥AB， ∴AG= 1 2 AB= 1 2 ×12=6cm， 在Rt△ADE中， ∵DE=AE=4cm， ∴AD= AE 2 + DE 2 = 4 2 + 4 2 =4 2 cm， ∵CG⊥AB，DE⊥AB， ∴CG ∥ DE， ∴△ADE ∽ △ACG， ∴ AE AG = AD AC ， 4 6 = 4 2 AC ， 解得AC=6 2 cm．