Question

如图所示，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，在形如三角板的△ABC中， ∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm。

Answer 1

)①如图a，当点E与点C重合时，AC⊥OE，OC=OE=6cm，所以AC与半圆O所在的圆相切．

此时点O运动了2cm，所求运动时间为:t=2/2=1s

②如图b，当点O运动到点C时，过点O作OF⊥AB，垂足为F．

在Rt△FOB中，∠FBO=30°，OB=12cm，则OF=6cm，

即OF等于半圆O的半径，所以AB与半圆O所在的圆相切．

此时点O运动了8cm，所求运动时间为：t=8/2=4s

③如图c，当点O运动到BC的中点时，AC⊥OD，OC=OD=6cm，

所以AC与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了14cm．

所求运动时间为：t=14/2=7s

④如图d，当点O运动到B点的右侧，且OB=12cm时，过点O作OQ⊥直线AB，垂足为Q．

在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，则OQ=6cm，

即OQ等于半圆O所在的圆相切．此时点O运动了32cm．

所求运动时间为：t=32/2=16s

因为半圆O在运动中，它所在的圆与AC所在的直线相切只有上述①、③两种情形；与AB所在的直线相切只有上述②、④两种情形；与BC所在直线始终相交，所以只有当t为1s，4s，7s，16s时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在圆相切．
(2)当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分的只有如图b与图c所示的两种情形．

①如图b，设OA与半圆O的交点为M，易知重叠部分是圆心角为90°，半径为6cm的扇形，所求重叠部分面积为：

S扇形EMO=1/4π×62=9π（cm2）

②如图c，设AB与半圆O的交点为P，连接OP，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则PH=BH．在Rt△OBH中，

∠OBH=30°，OB=6cm，则OH=3cm．

BH=3√3，BP=6√3

S△POB=1/2×6√3×3=9√3（cm2）

又因为∠DOP=2∠DBP=60°．

所以S扇形DOP=1/6π×62=6π（cm2）

所求重叠部分面积为：

S△POB+S扇形DOP=（9√3+6π）（cm2）