Question

对于区间[a,b],若函数y=f(x)同时满足下列两个条件：1.函数y=f(x)在[a,b]上是单调函数；2.函数y=f(x) ,x∈[

对于区间[a,b],若函数y=f(x)同时满足下列两个条件：1.函数y=f(x)在[a,b]上是单调函数；2.函数y=f(x) ,x∈[a,b]的值域是[a,b]为函数y=f(x)的保值区间。函数y=x^2+m(m≠0)是否存在保值区间？若存在，求出相应的实数m的取值范围；若不存在，试说明理由

Answer 1

由于函数y=f(x)在[a,b]上是单调函数，于是a,b必须位于函数y=x²+m对称轴x=0的两侧，也即a<b≤0或b>a≥0，下面分类讨论：

（1）若a<b≤0，则f(x)在[a,b]上单调递减，于是f(a)=b且f(b)=a即 a²+m=b且b²+m=a
两式相减，移项整理有(a-b)(a+b+1)=0。
于是a=-(b+1),b=-(a+1),代入有a²+a+m+1=0,b²+b+m+1=0
因此a,b为方程x²+x+m+1=0的两相异根，解得x=[-1±√(-4m-3)]/2
于是a=[-1-√(-4m-3)]/2,b=[-1+√(-4m-3)]/2.
此时0<-4m-3≤1，解得-1≤m<-3/4.

（2）若b>a≥0，则f(x)在[a,b]上单调递增，于是f(a)=a,f(b)=b即 a²+m=a且b²+m=b，
说明a,b是方程x²+m=x的两相异根，解得x=[1±√(1-4m)]/2
于是a=[1-√(1-4m)]/2,b=[1+√(1-4m)]/2.
此时0<1-4m≤1，解得0≤m<1/4.

综上，当-1≤m<-3/4时，存在保值区间[[-1-√(-4m-3)]/2,[-1+√(-4m-3)]/2]；
当0≤m<1/4时，存在保值区间[[1-√(1-4m)]/2,[1+√(1-4m)]/2]；
当m为其他值时，不存在保值区间。
.