Question

设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）=f（b）=1，试证存在ξ、η∈（a，b），使得eξ-η[

设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）=f（b）=1，试证存在ξ、η∈（a，b），使得eξ-η[f（η）+f′（η）]=1．

Answer 1

证明：
首先构造辅助函数：g（x）=e^x（f（x）-1），则g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导．
∵f（a）=f（b）=1，
∴g（a）=g（b）=1
运用罗尔定理知：
?η∈（a，b），使得g′（η）=e^η（f（η）+f′（η）-1）=0；
令ξ=η，则有e^ξ-η=1，
∴e^ξ-η（f（η）+f（η））=1
故得证．