Question

设函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1，k∈R）是定义域R上的奇函数

（1)判断当a＞1时，函数f（x）在R上的单调性
（2）已知f（1）=3/2，函数g（x）=a^(2x)+a^(-2x)-2f(x),x∈[-1,1]，求g（x）的值域
（3）已知a=3，若f（3x）≥λ·f（x）对于x∈[1，2]时恒成立，请求出最大整数λ

Answer 1

∵ f（x）=ka^x-a^(-x)（a＞0且a≠1，k∈R）是定义域R上的奇函数
∴ f(-x)=-f(x)，即：ka^(-x) - a^x= -ka^x + a^(-x)
整理得：k [a^x+a^(-x) ]= a^x + a^(-x)

∵ a^x + a^(-x)＞0
∴ k=1
∴ f（x）= a^x-a^(-x)

a＞1时，a^x在R上单调增，a^(-x)在R上单调减
∴ f（x）= a^x-a^(-x)在R上 单调增

∵f(1)=2/3
又：奇函数
∴f(-1)=-f(1)=-2/3

g(x)=a^(2x)+a^(-2x)-2f(x)

= [a^x-a^(-x)]^2 + 2 - 2f(x)
= [f(x)]^2 - 2f(x) + 1+ 1
= [f(x)-1]^2 + 1
x∈[-1，1]
f(x)单调增，f(-1)=-2/3，f(1)=2/3
∴f(x)∈[-2/3，2/3]
f(x)-1∈[-5/3，-1/3]
[f(x)-1]^2∈[1/9，25/9]
[f(x)-1]^2+1∈[10/9，34/9]
即g(x)在[-1，1]上值域[10/9，34/9]

a=3
f(x)=3^x-3^(-x)
f(3x) = 3^(3x)-3^(-3x) = [3^x-3^(-x)] [ 3^(2x)+1+3^(-2x)]
如前所述，a＞0时f(x)单调增，f(0)=0，∴x＞0时f(x)＞0
f(3x)≥ λf(x)
两边同除以f(x)得：
λ≤3^(2x)+1 = 3^(-2x)=[3^x-3^(-x)]^2+3 = [f(x)]^2+3
∵f(x)单调增
x∈[1，2]

∴最大值f(x)max=3^2-3^(-2)=9-1/9
{[f(x)]^2}max = (9-1/9)^2 = 81-2+1/81
{ [f(x)]^2+3}max = 81-2+1/81+3 = 82+1/81
∴λ≤ [f(x)]^2+3的最大整数值为82

Answer 2