Question

若椭圆C 1 ： x 2 4 + y 2 b 2 =1(0＜b＜2) 的离心率等于

若椭圆C 1 ： x 2 4 + y 2 b 2 =1(0＜b＜2) 的离心率等于 3 2 ，抛物线C 2 ：x 2 =2py（p＞0）的焦点在椭圆的顶点上．（1）求抛物线C 2 的方程；（2）求过点M（-1，0）的直线l与抛物线C 2 交E、F两点，又过E、F作抛物线C 2 的切线l 1 、l 2 ，当l 1 ⊥l 2 时，求直线l的方程．

Answer 1

（1）已知椭圆的长半轴为2，半焦距 c= 4- b 2 由离心率等于 e= c a = 4- b 2 2 = 3 2 ∴b 2 =1∴椭圆的上顶点（0，1）∴抛物线的焦点为（0，1） ∴抛物线的方程为x 2 =4y （2）由已知，直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y=k（x+1），E（x 1 ，y 1 ），F（x 2 ，y 2 ）， y= 1 4 x 2 ，∴ y ′ = 1 2 x ， ∴切线l 1 ，l 2 的斜率分别为 1 2 x 1 ， 1 2 x 2 当l 1 ⊥l 2 时， 1 2 x 1 ? 1 2 x 2 =-1 ，即x 1 ?x 2 =-4 由 y=k(x+1) x 2 =4y 得：x 2 -4kx-4k=0 ∴△=（4k） 2 -4×（-4k）＞0解得k＜-1或k＞0① ∴x 1 ?x 2 =-4k=-4，即：k=1 此时k=1满足① ∴直线l的方程为x-y+1=0