Question

在等腰三角形ABC中，角ACB=90度，D为BC的中点，DE垂直AB，垂足为E，过点B作BF平行A

在等腰三角形ABC中，角ACB=90度，D为BC的中点，DE垂直AB，垂足为E，过点B作BF平行AC交DE的延长线于点F，连接CF，交AD于点G
(1):求证：AD垂直CF
(2):连接AF试判断三角形ACF的形状，并说明理由。

Answer 1

解：（1）AD⊥CF 理由：∵△ABC为等腰三角形（已知） ∴∠CBA=∠CAB=45°（等腰直角三角形 的定义） ∴AC=BC（等腰的定义） ∵∠ACB=90°（已知） 又∵BF∥AC（已知） ∴∠FBC=90°（两直线平行，同旁内角 互补） ∴∠ACB=∠FBC（等量代换） ∵D为BC中点（已知） ∴BD=CD（中点的定义） ∴∠ABF=45°（等量代换） ∵DE⊥AB（已知） ∴∠DEB=∠FEB=90°(垂直的定义) 在△DBE和△FBE中 ∠ABF=∠ABD（等量代换）

∵ BE=BE（公共边）

∠DEB=∠FEB（已证） ∴△DBE≌△FBE（ASA） ∴DB=FB（全等三角形的对应边相等） ∴BF=CD（等量代换） 在△ACD和△CBF中 AC=BC（已证）

∵ ∠ACB=∠CBF（已证）

CD=BF（已证） ∴△ACD≌△CBF（SAS） ∴CF=AD（全等三角形的对应边相等） ∠CAD=∠BCF（全等三角形的对应角相 等） ∵∠BCF+∠ACF=90°（已知） ∴∠CAD+∠ACF=90°（等量代换） ∴∠CGA=90°（直角三角形的定义） ∴AD⊥CF（垂直的定义） （2）△ACF为等腰三角形 理由：连接AF 在△ADB和△AFB中 AC=BC（已证）

∵ ∠ACB=∠CBF（已证）

CD=BF（已证） ∴△ADB≌△AFB（SAS） ∴AD=AF(全等三角形的对应边相等) ∵CF=AD（已证） 又∵AD=AF（已证） ∴CF=AF（等量代换） ∴△ACF为等腰三角形（等腰三角形

追答

求采纳，谢谢

Answer 2

（1）
因为DE⊥AB
所以角FDB=45°
又BF平行AC
得到三角形DBF是等腰直角三角形
所以BD=BF
由AC=BC
所以三角形ACD和CBF全等
所以角CAD=角FCB
角CAD+角ADC=角FCB+角ADC=90°
得证
（2）
由于DBF是等腰直角三角形，BE垂直于DF
所以DE=EF
所以直角三角形ADE和AFE全等
AD=AF
上面得到AD=CF
所以AF=CF
三角形ACF为等腰三角形

Answer 3

1）因 BF//AC ，即BF⊥BC ，又DF⊥AB ，故△BDF为等腰Rt三角形 ，即BF=BD=CD

又AC=BC ，故Rt△ACD≌Rt△BCF ，于是AD=CF ，∠CAD=∠BCF ，故AD⊥CF

2）AF=AD=CF ，故△ACF为等腰三角形

Answer 4

解：（1）证明：∵AC∥BF，∠ACB=90°，
∴∠DBF=90°，
∵∠DBE=45°，
∴∠FBE=45°，
∴∠DBE=∠FBE=45°，
又∵∠DBE=∠FEB=90°，BE=BE，
∴△BDE≌△BFE，
∴BF=BD，
又∴D为BC的中点，
∴CD=BD，
∴CD=BF，
在△ACD和△CBF中，

∴△ACD≌△CBF，
∴∠CAD=∠BCF，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACG+∠BCF=90°，
∴∠CAG+∠ACG=90°，
∴∠AGC=90°，
∴AD⊥CF；
（2）△ACF是等腰三角形；理由如下：在△ADB和△AFB中，
，
∴△ADB≌△AFB，
∴AF=AD，
∵△BDE≌△BFE，
∴AD=CF，
∴CF=AF，
∴△ACF是等腰三角形。

Answer 5

，