Question

判断并证明f(x)=x2/x2+1在(0,+∞)的单调性

判断并证明f(x)=x2/x2+1在(0,+∞)的单调性

Answer 1

函数 f(x) = x^2 / (x^2+1) 在（0，+∞）上单调递增。
证明：设 0 < x1 < x2 ，
则 f(x1)-f(x2) = x1^2 / (x1^2+1) - x2^2 / (x2^2+1)
= (x1^2-x2^2) / [(x1^2+1)(x2^2+1)]
= (x1+x2)(x1-x2) / [(x1^2+1)(x2^2+1)] ，
因为 x1、x2 为正数，因此 x1+x2 > 0 ，x1^2+1 > 0 ，x2^2+1 > 0 ，
由于 x1 < x2 ，因此 x1-x2 < 0 ，
所以 f(x1)-f(x2) < 0 ，
因此有 f(x1) < f(x2) ，
所以函数在 （0，+∞）上为增函数。