Question

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为-3．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为-3．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若过点A（2，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3ax²+2bx+c
依题意

f′(1)＝3a+2b+c＝0 f′(?1)＝3a?2b+c＝0

?

b＝0 3a+c＝0

又f'（0）=-3∴c=-3∴a=1∴f（x）=x³-3x
（Ⅱ）设切点为（x₀，x₀³-3x₀），
∵f'（x）=3x²-3∴f'（x₀）=3x₀²-3
∴切线方程为y-（x₀³-3x₀）=（3x₀²-3）（x-x₀）
又切线过点A（2，m）
∴m-（x₀³-3x₀）=（3x₀²-3）（2-x₀）
∴m=-2x₀³+6x₀²-6
令g（x）=-2x³+6x²-6
则g'（x）=-6x²+12x=-6x（x-2）
由g'（x）=0得x=0或x=2g（x）_极小值=g（0）=-6，g（x）_极大值=g（2）=2
画出草图知，当-6＜m＜2时，m=-2x³+6x²-6有三解，
所以m的取值范围是（-6，2）．