如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=3，AB=2，D是A1B1的中点，E在线段CC1上且C1E=2．（1）证明：DC⊥
如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=3，AB=2，D是A1B1的中点，E在线段CC1上且C1E=2．（1）证明：DC⊥面ABE；（2）求二面角D-AE-B...
如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=3，AB=2，D是A1B1的中点，E在线段CC1上且C1E=2．（1）证明：DC⊥面ABE；（2）求二面角D-AE-B的大小．
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解答：
解：（1）证明：已知ABC-A1B1C1是正三棱柱，取AC中点O、A1C1中点F，连OF、OB，则OB、OC、OF两两垂直，
以OB、OC、OF为x、y、z轴建立空间直角坐标系．如图所示．
∵AB=2，AA1=3，C1E=2
∴A（0，-1，0），B(
，0，0)，E（0，1，1），C（0，1，0），D(
，?
，3)
∴
＝(?
，
，?3)，
＝(
，1，0)，
＝(0，2，1)
∴
?
＝0，
?
＝0
于是，有DC⊥AB、DC⊥AE．
又因AB与AE相交，故DC⊥面ABE．（6分）
（2）由（1）得
＝(?
，
，?3)为平面ABE的一个法向量
设
=（x，y，z）为平面ADE的一个法向量
则
，
即
解：（1）证明：已知ABC-A1B1C1是正三棱柱，取AC中点O、A1C1中点F，连OF、OB，则OB、OC、OF两两垂直，以OB、OC、OF为x、y、z轴建立空间直角坐标系．如图所示．
∵AB=2，AA1=3，C1E=2
∴A（0，-1，0），B(
| 3 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| DC |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| AB |
| 3 |
| AE |
∴
| DC |
| AB |
| DC |
| AE |
于是，有DC⊥AB、DC⊥AE．
又因AB与AE相交，故DC⊥面ABE．（6分）
（2）由（1）得
| DC |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
设
| m |
则
|
即
|
