Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下面三个条件：①对任意正数a，b，都有f（a）+f（b）=f（ab）；②当x

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下面三个条件：①对任意正数a，b，都有f（a）+f（b）=f（ab）；②当x＞1时，f（x）＜0；③f（2）=-1（Ⅰ）求f（1）和f(14)的值；（Ⅱ）试用单调性定义证明：函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；（Ⅲ）求满足f（4x3-12x2）+2＞f（18x）的x的取值集合．

Answer 1

（Ⅰ）令x=y=1得f（1）=f（1）+f（1），则f（1）=0，
而f（4）=f（2）+f（2）=-1-1=-2，
且f（4）+f（

1

4

）=f（1）=0，则f（

1

4

）=2；
（Ⅱ）取定义域中的任意的x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂，
∴

x2

x1

＞1，
当x＞1时，f（x）＜0，
∴f（

x2

x1

）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₁?

x2

x1

）-f（x₁）=f（x₁）+f（

x2

x1

）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＜0，
∴f（x）在R⁺上为减函数．
（Ⅲ）由条件①及（Ⅰ）的结果得，
∵f（4x³-12x²）+2＞f（18x），
∴f（4x³-12x²）+f（

1

4

）＞f（18x），
∴f（x³-3x²）＞f（18x），
∴

x3?3x2＞0 18x＞0 x3?3x2＜18x

解得3＜x＜6，
故x的取值集合为（3，6）