Question

已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）．（1）计算a2，a3，a4的值，猜想数列{an}的通项公式，并用数

已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）．（1）计算a2，a3，a4的值，猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）若p，q，r是三个互不相等的正整数，且p，q，r成等差数列，试判断ap，aq，ar是否成等比数列？并说明理由．

Answer 1

（1）由已知a₁=1，a_n+1=2a_n+1，
可得，n=1时，a₂=2+1=3；
n=2时，a₃=6+1=7；
n=3时，a₄=14+1=15．…（3分）
…
由此猜想 a_n=2ⁿ-1．…（4分）
证明：①当n=1时，由已知，a₁=2¹-1=1，满足条件．
…（6分）
②假设当n=k（k∈N^*）时猜想成立，即a_k=2^k-1．…（7分）
则n=k+1时，
a_k+1=2a_k+1=2（2^k-1）+1=2^k+1-1．
所以 当n=k+1时，猜想也成立．
根据①和②，可知猜想对于任何n∈N^*都成立．…（9分）
（2）解：∵p，q，r成等差数列，
∴p+r=2q．
假设a_p，a_q，a_r成等比数列，
则a_p?a_r=a_q²，…（10分）
即（2^p-1）（2^r-1）=（2^q-1）²，
化简得：2^p+2^r=2×2^q．（*）        …（11分）
∵p≠r，
∴2^p+2^r＞2

2p×2q

=2×2^q，
这与（*）式矛盾，故假设不成立．…（13分）
∴a_p，a_q，a_r不是等比数列．…（14分）