Question

已知等差数列{an}的公差为2，其前n项和为Sn=pn2+2n，n∈N*．（1）求p值及an；（2）在等比数列{bn}中，b3=

已知等差数列{an}的公差为2，其前n项和为Sn=pn2+2n，n∈N*．（1）求p值及an；（2）在等比数列{bn}中，b3=a1，b4=a2+4，若等比数列{bn}的前n项和为Tn．求证：数列{Tn+16}为等比数列．

Answer 1

（1）∵等差数列{a_n}的公差为2，其前n项和为S_n=pn²+2n，n∈N^*．
∴a₁=S₁=p+2，S₂=4p+4，
即a₁+a₂=4p+4，∴a₂=3p+2，
则a₂-a₁=2p=2，即p=1．
∴a_n=2n+1．n∈N^*．
（2）在等比数列{b_n}中，b₃=a₁=3，b₄=a₂+4=9，
则公比q=

b4

b3

＝

9

3

＝3，
则b₃=b₁?3²=3，解得b₁=

1

3

，
∴T_n=

1 3 (1?3n)

1?3

＝

1

6

(3n?1)，
即T_n+

1

6

=

1

6

?3n，
∴

Tn+ 1 6

Tn?1+ 1 6

＝

1 6 ?3n

1 6 ?3n?1

＝3为常数，
∴数列{T_n+

1

6

}为等比数列．