Question

已知函数f（x）=lnx-ax,a为常数。若函数f（x）有两个零点x1,x2,试证明x1x2＞e^2

Answer 1

先求导y'=1/x-a,令y'=0,x=1/a,可得函数在1/a处取得最大值为-lna+1>0,得0<a<1 e. 设函数的两个零点分别为x1,x2,且设x1<1/a lnx1+lnx2=a(x1+x2),可得ln(x1x2)=a(x1+x2),要证原命题，只要证明x1+x2>2/a.
x1<1/a,则2/a-x1>1/a.
因为函数在x>1/a时单调递增，只要证明ln(2/a-x1)-a(2/a-x1)>0就可得x2>2/a-x1
设函数g(x)=ln(2/a-x)-a(2/a-x)-(lnx-ax),
g'(x)=1/(x-2/a)+2a-1/x=2a(x-1/a)^2/[x(x-2/a)],可得在（0，2/a)上g'(x)<0,且g(1/a)=0,
所以，当00,x1<1/a,所以g(x1)>0,即ln(2/a-x1)-a(2/a-x1)-(lnx1-ax1)>0,
所以ln(2/a-x1)-a(2/a-x1)>0,得证。