设函数y=f(x)的定义域为[0,1],求函数y=f(x+a)+f(x-a)(a>0)的定义域.
答案是a>1/2时,定义域是空集,a<1/2时,定义域为a≤x≤1-a.不明白这个2分之一是哪里来的?能把过程详细写出来解释下吗?谢谢!...
答案是a>1/2时,定义域是空集,a<1/2时,定义域为a≤x≤1-a. 不明白这个2分之一是哪里来的?能把过程详细写出来解释下吗?谢谢!
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1个回答
2015-04-08
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∵函数f(x)的定义域为[0,1],
在f(x+a)中,0≤x+a≤1,即-a≤x≤1-a,
在f(x-a)中,0≤x-a≤1,即a≤x≤1+a,
∴函数y=f(x+a)+f(x-a)的定义域就是集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集.
(1)当a>1/2时,1-a<a,
集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为空集,
∴此时,函数y没有意义;
(2)当0≤a≤1/2时,-a≤a≤1-a≤1+a,
集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为{x|a≤x≤1-a},
即函数y的定义域为{x|a≤x≤1-a};
(3)当-1/2≤a<0时,a<-a≤1+a<1-a,
集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为{x|-a≤x≤1+a},
即函数y的定义域为{x|-a≤x≤1+a};
(4)当a<-1/2时,1+a<-a,
集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为空集,
∴此时,函数y没有意义.
综上,当a>1/2 ,或a<-1/2时,函数y没有意义,
当-1/2≤a<0时,函数y的定义域为{x|-a≤x≤1+a};
当0≤a≤1/2时,函数y的定义域为{x|a≤x≤1-a}.
在f(x+a)中,0≤x+a≤1,即-a≤x≤1-a,
在f(x-a)中,0≤x-a≤1,即a≤x≤1+a,
∴函数y=f(x+a)+f(x-a)的定义域就是集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集.
(1)当a>1/2时,1-a<a,
集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为空集,
∴此时,函数y没有意义;
(2)当0≤a≤1/2时,-a≤a≤1-a≤1+a,
集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为{x|a≤x≤1-a},
即函数y的定义域为{x|a≤x≤1-a};
(3)当-1/2≤a<0时,a<-a≤1+a<1-a,
集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为{x|-a≤x≤1+a},
即函数y的定义域为{x|-a≤x≤1+a};
(4)当a<-1/2时,1+a<-a,
集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为空集,
∴此时,函数y没有意义.
综上,当a>1/2 ,或a<-1/2时,函数y没有意义,
当-1/2≤a<0时,函数y的定义域为{x|-a≤x≤1+a};
当0≤a≤1/2时,函数y的定义域为{x|a≤x≤1-a}.
追问
你复制给我没用 我要的是详细的步骤说明
追答
00
交集为
a<=t<=1-a
命t=x
则
a<=x<=1-a,0<a<1
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