Question

高中数学不等式的证明--换元法 谢谢哥哥姐姐帮助

问题一：老师做这道题用的是换元法中的三角换元，然后我对三角换元还是第一次见。 我在网上查了很多。最后大概知道了三角换元。可是对于那些取值范围我根本不明白那代表了什么，意思是题目中给出了那个特定范围才能用？给出的范围有什么用啊？问题二：就是我截图的那一部分，然后老师说那个是特殊什么，最后说不能用这个方法。为什么啊？就算等于一可是最后还是有＞4ab 而不是等于4ab

Answer 1

1、三角换元：当变量出现1-x，1-x^2，1+x^2之类的多项式在分母上或在二次根号下时，处理它们往往会非常棘手。这时让x等于某个三角函数，就会简化计算。例如x/√(1-x^2)是一个相当复杂的式子，但如果令x=sint，则上式立即简化成tant，继续算下去就非常容易。
至于取值范围，那是换元前后的变量范围一致所要求的。例如如果上式中限制x>0，那换元后就得要求0<t<π且t≠π/2。

2、三角换元后直接用均值不等式：该方法并不正确，因为如果用均值不等式a^2+b^2≥2ab的话，意味着取等号时a和b相等。而题目中根本没有提到这个条件（谁也没说过a^2/sin^2x=b^2/cos^2x），所以取不到等号。那就没法说最小值是多少。

Answer 2

你好！
换元首先必须保证换元时所用的函数的 值域 与被换的东西是一致的
就是说三角换元如果用正弦或余弦去换（或其平方）的话必须保证被换的东西的值域与所用三角函数的值域一致
方法上，首先明确被换原函数的值域
然后根据此值域确定换元所用的新函数的值域
然后根据新函数的值域解出新函数的定义域
于是ok

比如此题中，令sinc^2=x，由于已知0<x<1,所以必然有sinc不为0或1，于是换元后c必然不能为 圆周率/2 的整数倍
然后就可以换了

你图片中的换元方法是正确的，但是过程有问题
取极值的条件应该是
sinc=cosc

而不是（a/sinc）=（b/cosc）
因为a与b是常数，只有c才是变量

Answer 3

首先那个三角换元 因为是换 所以换了之后范围要一致 所以原来变量比如说0<x<1 你用tant来换x 那么对应是t的范围就是0<t<pai/4

Answer 4

风马牛不相及 不能就是不能 哪来的为什么