Question

高一数学 恒成立问题 求详细过程

Answer 1

1、由题目知，要使x在区间[1,+∞)上，f(x)﹥0恒成立，则f(x)在区间[1,+∞)上必为增函数，且f(1）=3+a﹥0恒成立，设1≦x2＜x1，则f(x1)-f(x2)代入化简得，f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1*x2-a)/(x1x2)﹥0恒成立，即x1*x2-a﹥0恒成立，则必须a≦1,结合3+a﹥0，得，-3<a≦1
讨论
若a>0，则，x在区间[1,+∞)，f(x)=x+2+a/x>0亦恒成立
综合得，a>-3
2、同理，设2≦x2＜x1，则f(x1)-f(x2)代入化简得，可知，f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1*x2-3)/(x1x2)﹥0恒成立，故，f(x)为增函数，要使x在区间[2,+∞)上，f(x)﹥a恒成立，且f(x)在区间[2,+∞)上为增函数，则，f(2）=11/2﹥a恒成立即可，得，a<11/2
3、设2≦x2＜x1≦5，可得，f(x1)-f(x2)=(x2-x1)/[(x1-1)(x2-1)]<0,可知，函数为减函数，要使f(x)<a恒成立，则f(2)<a必恒成立，解得，a>2

Answer 2

1. f(x)=x+a/x+2,
   

   1)若a=0,f(x)=x+2>0恒成立，满足要求；

   2)若a<0，f(x)=x+a/x+2单调增，因此f(x)>=f(1)=1+a+2>0,因此-3<a<0;

   3)若a>0,f(x)=x+a/x+2显然f(x)>0成立。

   
   综上a>-3

2. f(x)=x+3/x+2，当x=√3时取最小值，在[2,+∞)单调增。故f(x)>=f(2)=11/2，故a<11/2。

3. f(x)=1+1/(x-1)在[2,5]单调减，因此f(x)<=f(2)=2，故a>2

总结一下，a>f(x)恒成立，a比f（x）的最大值大即可；a<f(x)恒成立，a比f(x)的最小值小即可。

Answer 3

追问

第一题
g（x）min=g（1）？

追答

是的，因为g（x）在区间内单调递增，所以x取最小的时候g（x）最小。