Question

这个高数题目~

设抛物线y=-x^2+BX+C与X轴有两个交点a,b（a<b)，函数f(x)在[a,b]上二阶可导，f(a)=f(b)=0，并且曲线y=f(x)与y=-x^2+BX+C在(a,b)内有一个交点，证明：存在d属于(a,b)，使f(d)的二阶导数=-2

Answer 1

设曲线 y = f(x)与 y = g(x)= -x^2+BX+C在(a,b)内交点的横坐标为c，则a<c<b
记 h(x) = f(x) - g(x)
于是 h(x) 在[a,b]上二阶可导，且 h(a)=h(c)=h(b)=0
从而在[a,c]上由中值定理得,存在 m∈(a,c),使得 h'(m) = 0
在[c,a]上由中值定理得,存在 n∈(c,b),使得 h'(n) = 0
在[m,n]上，对函数 h '(x)用中值定理，存在 d∈(m,n)(当然d∈(a,b))，使得 h''(d)=0，即 f''(d)-g''(d)=0，而g''(d) = -2
于是结论成立

Answer 2

用Cauchy中值定理可由f(x)与y=-x^2+BX+C有三个点相等易证有两个一阶导数相等，再用中值定理就可推出有一个二阶导数相等 而y=-x^2+BX+C的二阶导就是－2