Question

若a,b,c是△ABC的三条边，且a^5+b^5=c^5，试判断该三角形的形状

若a,b,c是△ABC的三条边，且a^5+b^5=c^5，试判断该三角形的形状。
谢谢~

Answer 1

楼上的，你说的答案明显不对呀，举个反例，取a=1，b=2，c=5次根号33≈2.01
a，b，c能够成三角形，但他却不是等腰三角形。

我想正确答案是：锐角三角形

储备知识：
△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c
若c²＞a²+b²，则∠C＞90°
若c²=a²+b²，则∠C=90°
若c²＜a²+b²，则∠C＜90°

【这可以用余弦定理证明：
余弦定理：△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c
则c²=a²+b²-2ab•cosC
若c²＞a²+b²，则c²=a²+b²-2ab•cosC＞a²+b²
即2ab•cosC＜0
cosC＜0
即 C＞90°

同理，其他的都可证明】

解：设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c
因为 a^5+b^5=c^5，a，b，c都为正数
所以 c＞a，c＞b
因为三角形中，大边对大角
所以 ∠C＞∠B，∠C＞∠A，即∠C为最大角

又a^5+b^5=c^5，a，b，c都不为零
两边同除以c³，得(a^5/c³)+(b^5/c³)=c²

(a³/c³)•a²+(b³/c³)•b²=c²
(a/c)³•a²+(b/c)³•b²=c²
因为c＞a，c＞b
所以 a/c＜1，b/c＜1
(a/c)³＜1，(b/c)³＜1

所以c²=(a/c)³•a²+(b/c)³•b²＜a²+b²
所以 ∠C＜90°
又因为∠C为最大角
所以 △ABC是锐角三角形

【按照上面的方法，此题还可以推广：
若a,b,c是△ABC的三条边，且a^n+b^n=c^n
当n＞2时，△ABC是锐角三角形
当n=2时，△ABC是直角三角形
当1＜n＜2时，△ABC是钝角三角形】

【希望对你有帮助】

Answer 2

PPPS:楼下说得对……(*^__^*) 噢，我错了。谢啦！
PPPPS：呃……那个，虽然这道题做错了，有时候代数还是有点作用的

Answer 3

取a=1，b=2，c=5次根号33≈2.01
a，b，c能够成三角形，但他却不是等腰三角形。

ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c
若c²＞a²+b²，则∠C＞90°
若c²=a²+b²，则∠C=90°
若c²＜a²+b²，则∠C＜90°