a1>10,an+1=√6+an,证明递归数列收敛
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先求不动点
x=sqrt(6+x) x^2-x-6=0 x=3
即很可能An收敛到3
An+1 - 3 = sqrt(6+An) - 3 = (An -3)/ [sqrt(6+An)+3]
则归纳法易知An>3
An+1 - An =( 6+An-An^2) / [sqrt(6+An)+An] =-(An +2)(An -3) / [sqrt(6+An)+An]<0
故知An递减
单调有界数列必有极限，得证。
如果要证收敛于3，则可利用 [sqrt(6+An)+An]>=6
则0<An+1 - 3 = sqrt(6+An) - 3 = (An -3)/ [sqrt(6+An)+3]<(An -3)/6
累乘，
0<(An+1 -3) <(A1 -3)/6^n
由夹逼定理，
An收敛于3
x=sqrt(6+x) x^2-x-6=0 x=3
即很可能An收敛到3
An+1 - 3 = sqrt(6+An) - 3 = (An -3)/ [sqrt(6+An)+3]
则归纳法易知An>3
An+1 - An =( 6+An-An^2) / [sqrt(6+An)+An] =-(An +2)(An -3) / [sqrt(6+An)+An]<0
故知An递减
单调有界数列必有极限，得证。
如果要证收敛于3，则可利用 [sqrt(6+An)+An]>=6
则0<An+1 - 3 = sqrt(6+An) - 3 = (An -3)/ [sqrt(6+An)+3]<(An -3)/6
累乘，
0<(An+1 -3) <(A1 -3)/6^n
由夹逼定理，
An收敛于3
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