Question

数学卷9：设函数f(x)=x(|x|-1)在[m,n]上的最小值为-1/4,最大值为2，则n-m的最大值为（ ）

求详解，要步骤。谢谢

Answer 1

x>=0时，f(x)=x(x-1)=(x-1/2)²-1/4, 最小值为f(1/2)=-1/4;当f(x)=2时，解得有：x=2
x<0时，f(x)=x(-x-1)=-(x+1/2)²+1/4,最大值为f(-1/2)=1/4,当f(x)=-1/4时，解得有x=-(1+√2)/2
因此要使最大值为2，只能有n=2,
要使最小值为-1/4, 则m为区间[0,1/2]或m=-(1+√2)/2
所以n-m最大值为2+(1+√2)/2=(5+√2)/2

Answer 2

你把绝对值拆开变成分段函数，可以看到是一个类似于N的图形，y值对应-1/4,2的两个点分别在两段上有两个值，选取其中最大距离的两个去计算长度就是5/2 +√2 /2.

f(x)=x(x-1)=x^2-x=(x-1/2)^2-1/4, (x>0)
=x(-x-1)=-x^2-x=-(x+1/2)^2+1/4.(x<0)
最大值是2,只有在x>0时才能取得,即有x^2-x=2, 解得x=2
最小值是-1/4有在x>0时有x=1/2,在x<0时有-x^2-x=-1/4
(x+1/2)^2=1/2
x=-1/2-根号2/2
所以,n-m的最大值就是2-(-1/2-根号2/2)=5/2+根号2/2.