Question

sn=1/2(an+1/an)求通项

求此数列n=k+1时候的数学归纳法的证明

Answer 1

解：
a1=s1=1/2(a1+1/a1)
解得s1=a1=1
∵Sn=1/2(an+1/an)................①
∴S(n-1)=Sn-an=1/2(1/an-an)......②
①+②得Sn+S(n-1)=1/an ...③
①-②得Sn-S(n-1)=an .....④
③×④得Sn^2-S(n-1)^2=1
S1=1 （前面已经求得）
∴{Sn^2}是首项为S1^2=1,公差为1的等差数列
∴Sn^2=n
∴Sn=√n
∴an=Sn-S(n-1)=√n-√(n-1)
经过验证a1=1也满足上式，所以所求数列通项an=√n-√(n-1)

证明：
当n=1时a1=√1-√(1-1)=1满足s1=1/2(a1+1/a1)
假设n=k时，ak=√k-√(k-1）,所以1/ak=√k+√(k+1）
当n=k+1时，
S（k+1）=1/2【a（k+1）+1/a（k+1）】
又因为S（k+1）=Sk+a（k+1）=1/2（ak+1/ak）+a（k+1）=√k+a（k+1）
所以
1/2【a（k+1）+1/a（k+1）】=√k+a（k+1）
a（k+1）+1/a（k+1）=2√k+2a（k+1）
a²（k+1）+2√ka（k+1）-1=0
a（k+1）=【-2√k±√（4k+4）】/2
因为a（k+1）>0
所以a（k+1）=√（k+1）-√k
综合两种情况，命题成立！
证毕！