Question

f(x)=ax^3+x^2+bx,g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数

f(x)=ax^3+x^2+bx,g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数
1,求函数f(x)的表达式
2，讨论g(x)单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值

要过程 谢谢

Answer 1

（1）解：因为g(x)为奇函数,所以有g(0)=0,即f(0)+f'(0)=0,解得b=0。
又因为有等式g(x)=-g(-x),解得（3a+1）x^2=0。令3a+1=0,解得a=-1/3。
所以f(x)=-x^3/3+2x。
（2）解：由（1）可得：g(x)=-x^3+2x。对其求导，则可得g'(x)=x^2+2〉0。
所以该函数g(x)在区间上是增函数。所以g(x)在区间[1，2]上的最大值为g(2)=6,最小值为g(1)=3.

Answer 2

f'(x)=3ax^2+2x+b

,g(x)=f(x)+f'(x)=ax^3+(3a+1)x^2+(b+2)x+b

g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数
g(x)=g(-x)

所以 3a+1=0 a=-1/3
b=0

f(x)的表达式-1/3x^3+x^2

g(x)=-1/3x^3+2x

g(x)'=-x^2+2

所以增区间[-根号2，根号2]
减区间（负无穷，-根号2】 【根号2，正无穷）

在区间[1,2]
先增后减
最大值g(根号2)=3/2
最小值g(2)=-2