Question

已知函数f(x)=a^x+a^-x(a>0,a不等于1)判断函数f(x)在(0,正无穷)上的单调性，并用定义加以证明

Answer 1

任意取m，n∈（0，+∞）且m＜n

f（m）-f（n）=a^m+1/a^m-a^n-1/a^n

=[(a^2m+n)+a^n-(a^m+2n)-a^m]/a^m+n

={[(a^2m+n)-(a^m+2n)]+[a^n-a^m]}/a^m+n  ①式

该式的分母肯定是大于零的

而且分子的两个做差项的指数部分的差都等于n-m

★当a∈（0,1）时

2m+n<2n+m 所以 a^2m+n>a^m+2n 设二者差值为P

m＜n 所以 a^n<a^m 设二者差值为Q

因为a^x的图像是递减的，而且随着x的增大，递减的幅度越来越小，最后趋于零

那么P<Q

所以①式<0

所以该函数为增函数

★当a∈（1,+∞）时

2m+n<2n+m 所以 a^2m+n<a^m+2n 设二者差值为P

m＜n 所以 a^n>a^m 设二者差值为Q

因为a^x的图像是递增的，而且随着x的增大，递减的幅度越来越大

那么P>Q

所以①式<0

所以该函数为增函数

可以通过观察插入的图像，很明显看出推理过程。

如果学过求导，那么该问题就更好理解了

Answer 2

对任意x1>x2>0
f(x1)-f(x2)=a^x1+a^(-x1)-a^x2-a^(-x2)=(a^x1-a^x2)+[a^(-x1)-a^(-x2)]=(a^x1-a^x2)+(1/a^x1-1/a^x2)
=(a^x1-a^x2)+(a^x2-a^x1)/a^x1×a^x2=(a^x1-a^x2)(1-1/a^x1×a^x2)
若0<a<1, 则a^x是减函数, 0<a^x1<a^x2<a^0=1, ∴a^x1-a^x2<0, 0<a^x1×a^x2<1
∴1/a^x1×a^x2>1, 1-1/a^x1×a^x2<0, ∴f(x1)-f(x2)>0
若a>1, 则a^x是增函数, a^x1>a^x2>a^0=1, ∴a^x1-a^x2>0, a^x1×a^x2>1
∴1/a^x1×a^x2<1, 1-1/a^x1×a^x2>0, ∴f(x1)-f(x2)>0
综上,f(x1)-f(x2)>0, f(x1)>f(x2), f(x)在(0,+∞)上是单调增函数
不懂，请追问，祝愉快O(∩_∩)O~