Question

已知函数f(x)=a^x+a^(-x),(a>0,a≠1），试判断函数在（0，正无穷大）上的单调性，并用定义加以证明

Answer 1

设x1>x2>0
f(x1)-f(x2)=a^x1+1/a^x1-a^x2-1/a^x2=(a^x1-a^x2)+(a^x2-a^x1)/(a^x1*a^x2)=(a^x1-a^x2)[1-1/a^(x1+x2)]
(1)当a>1时，a^x1>a^x2,x1+x2>0,即有a^(x1+x2)>1,1-1/a^(x1+x2)>0
故有f(x1)-f(x2)>0
(2)当0<a<1时，有a^x1<a^x2,0<a^(x1+x2)<1,1-1/a^(x1+x2)<0
故有f(x1)-f(x2)>0
所以，函数f(x)在（0，+无穷）上是增函数。