Question

求f(x)=x+2/x的单调递增区间怎么求？

Answer 1

解：一；图像法：
函数形式为y=ax+b/x (a*b>0)图像为类似双曲线的打钩状，称之为打钩函数(叫生趣点 可以叫耐克函数)
y=x+2/x 落在一、三象限上 渐近线为y=x与y=2/x
第一象限内 有最低点(√2,2√2) 第三象限内 有最高点(-√2，-2√2)
即 f(x)=x+2/x 在(-∞,-√2],(√2，+∞)上单调递增
在(-√2,0),(0,√2]上单调递减
二；定义法：
任取x1,x2∈(-∞,0)∪(0,+∞) 且x1<x2
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+2/x1-2/x2=(x1-x2)*[1-2/(x1*x2)]
∵x1<x2 ∴x1-x2<0
当x^2<2时 即x∈(-√2,0)∪(0,√2)时 1-2/(x1*x2)<0
f(x1)-f(x2)>0 即f(x)=x+2/x在(-√2,0),(0,√2)上单调递减
当x^2≥2时 即 x∈(-∞,-√2],[√2，+∞)时 1-2/(x1*x2)≥0
f(x1)-f(x2)>0 即f(x)=x+2/x在(-∞,-√2],[√2，+∞)上单调递增
三；基本不等式
对任意a,b>0 a+b≥2√(a*b) 等号成立条件"a=b"
f(x)=x+2/x x>0时，f(x)≥2√2 等号成立条件"x=2/x=√2"
x<0时，f(x)=-[-x+(-2)/x]≤-2√2 等号成立条件"-x=-2/x=√2，x=-√2"
则 f(x)=x+2/x在(-√2,0),(0,√2)上单调递减
在(-∞,-√2],[√2，+∞)上单调递增
四：导数(也可以了解一下,可用于解决一般函数的单调性)
f'(x)=dy/dx=1-2/x^2 表示增加一个△x,函数值的变化率△y/△x(△x,△y取极小值时,写成dx,dy)
另变化率f'(x)=0 x=√2 或x=-√2 此处为函数单调性变化处
在x=√2附近 f(x)<f(√2) 则(√2,2√2)在(0,+∞)上为最低点
同理(-√2,-2√2)在(-∞，0)上为最高点
即 f(x)=x+2/x在(-√2,0),(0,√2)上单调递减
在(-∞,-√2],[√2，+∞)上单调递增