Question

高等数学基础问题

用拉格朗日极值法求曲面xy-z^2+1=0上离原点最近的点

Answer 1

Answer 2

是(0,0,1)吧

Answer 3

曲面 xy-z^2+1 = 0 上的点到原点距离的平方是 x^2+y^2+z^2,
问题归结为求满足条件 xy-z^2+1 = 0 时， x^2+y^2+z^2 的最小值，
故构造拉格朗日函数 L = x^2+y^2+z^2 + k(xy-z^2+1)
∂L/∂x = 0, 2x+ky = 0 , 即 2x = -ky (1)
∂L/∂y = 0, 2y+kx = 0 , 即 2y = -kx (2)
∂L/∂z = 0, 2z-2kz = 0 , 即 z(1-k) = 0 (3)
∂L/∂k = 0, xy-z^2+1 = 0. (4)
(1)/(2), 得 y^2 = x^2, k^2 = 4 ； 由 (3) 得 z = 0，或 k = 1.
k = 1 时，代入(1)，(2) 得 x = 0，y = 0， 代入(4)，得极值点P1(0, 0, 1), P2(0, 0, -1);
z = 0，y = ±x， 代入 (4) ，得极值点 P3(1, -1, 0), P4(-1, 1, 0)；
比较知曲面 xy-z^2+1 = 0 上的点到原点距离的最小值是 1。
讨论：其实，本题化为无条件极值更简单明了。z^2 = xy+1
f(d) = d^2 = x^2+y^2+z^2 = x^2+y^2+xy+1
∂f/∂x = 2x+y, ∂f/∂y = 2y+x, 得唯一驻点 (0, 0)
A = ∂^2f/∂x^2 = 2, B = ∂^2f/∂x∂y = 1, C = ∂^2f/∂y^2 = 2,
B^2-AC = -3 < 0, A > 0, 则 (0, 0) 是极小值点，
此时 z^2 = 1, 则曲面上极小值即最小值点是 P1(0, 0, 1), P2(0, 0, -1)，
曲面 xy-z^2+1 = 0 上的点到原点距离的最小值是 1。

Answer 4

设曲面上的点为(x,y,z)。∴到原点的距离d=√(x²+y²+z²)。
①构造拉格朗日乘数方程F(x,y,z;λ)=√(x²+y²+z²)+λ(xy-z²+1)。②求驻点M(x,y,z)。分别求F(x,y,z;λ)对x、y、z、λ的偏导数，并令其值为0，有∂F(x,y,z;λ)/∂x=x/d+λy=0③、∂F(x,y,z;λ)/∂y=y/d+λx=0④、∂F(x,y,z;λ)/∂z=z/d-2λz=0⑤、∂F(x,y,z;λ)/∂λ=xy-z²+1=0⑥。
由③、④得y=±x。由⑤得z=0。当y=x，z=0时，⑥无解，舍去。当y=-x，z=0时，解得x=±1。即驻点为(1,-1,0)，或者(-1,1,0)。
又，距离最小的点客观存在，且两驻点到原点的值相等，∴距离d的最小值mind=√2。
供参考。