Question

拉格朗日中值定理证明中的问题

证明如图，但在1式中，移项后整个式子等于0，那么在构造2式函数F（x）时，整个F（x）也应该=0，这样F（x）不就恒等于0，那还怎0么证明后面的式子？

Answer 1

辅助函数我们是通过罗尔中值定理的结论推出来的，所以必然有F（a）=F（b）。

你问题就在于没有深刻理解ξ为一特殊值，等式①在x=ξ成立，其他时候可能就不成立了。当然也包括你写的等式①上面两个等式，它们也是在x=ξ成立，其他时候可能就不成立。

Answer 2

你题目要证明什么？感觉有问题，第一步到第二步怎么从一个特定的kesai变为f(x)=[f(b)-f(a)]/(b-a)了？如果第一步到第二步成立，也不需要拉格朗日中值定理了，都线性函数了还要那么麻烦？

追问

把kesai化为x再证明是教材上的拉格朗日证明过程，为什么第一步到第二部成立就不用了？

追答

你题目到底要证明什么？题目是啥？
不是不用，而是在绝大部分情况下，第一步到第二步都不成立！所以要看你题目是啥

追问

就拉格氏中值定理证明，书上定理证明就是我写的那几步，但中间我画的那两步有点不懂

追答

你可以把书上拍照上来，至少目前第一步到第二步就是错误的，后面的不好理解主要和着有关

Answer 3

为了能帮助许多读者真正了解拉格朗日中值定理的证明过程，并从证明过程中真正收益，本回答（主要是后面的注）会显得很冗长。希望读者能耐心细读，并结合叙述画草图以帮助理解清楚。
题主写的是一个分析如何才能证明拉格朗日中值公式的过程。
事实上，第二行是想借助的式子（即如果能有这个式子，那么把x换成ξ就得要证的结果），并不是对一切x都成立的等式。自然①式也不是对一切x都成立的恒等式。
注：
这种方法不论是老师课上讲的或者教科书里写的，都是试图在展示新的证明方法。但其实这与原始的证明方法本质上没有区别，却在冒丢掉原始方法的经典之处的风险！
为了证明拉格朗日中值定理，需要把这一定理产生的背景搞清楚。
一个简单但却十分重要的事实是：经过几何观察发现，对于满足罗尔定理三个条件的f(x)，所谓至少有一点ξ使得f'(ξ)＝0，本质上是说在(a,b)内至少有一点ξ，使得曲线y＝f(x)上过点(ξ,f(ξ))的切线平行于过该曲线上两个点(a,f(a))、(b,f(b))的弦。
拉格朗日正是注意到了这个重要事实，才觉得既然是曲线上的切线平行于弦，罗尔定理的第三个条件就可以去掉。也就是说，将曲线连同弦旋转一个角度（不再要求弦处于水平位置），一样也会在(a,b)内至少存在一点ξ，使得曲线上过点(ξ,f(ξ))的切线平行于弦。进而切线的斜率与弦的斜率相等，即有
f'(ξ)＝[f(b)-f(a)]/(b-a). ①
了解了上述拉格朗日中值定理产生的背景之后，证明这个定理就不太难了。
事实上，由于上述①是由罗尔定理去掉了第三个条件后得出的，所以要证明①，就要创造条件使罗尔定理的条件被满足。注意到在两点(a,f(a))、(b,f(b))处曲线的纵坐标与弦的纵坐标相等，所以如果设新函数F(x)为曲线方程对应的纵坐标函数与弦对应的纵坐标函数的差，则F(a)＝F(b)＝0，罗尔定理的第三个条件被满足，而F(x)满足罗尔定理的前两个条件是显然的。因此令
F(x)＝f(x)-{f(a)+[f(b)-f(a)]/(b-a) (x-a)}.
则罗尔定理的三个条件被满足，故在(a,b)内至少有一点ξ，使得F'(ξ)＝0.即f'(ξ)＝[f(b)-f(a)]/(b-a).

Answer 4

把整个题目和你写的整个答案发过来

Answer 5

这里只是方便书写。实际上第一次求原函数时有一个常数c被省略了

追问

那整个式子也等于一个常数？什么意思？