Question

已知函数f(x)的定义域为R,且对任意x属于Z,都有f(x)=f(x-1)+f(x+1).若f(-1)=2,f(1)=3,则f(2012)+f(-2012)=

Answer 1

用迭代法，求证f(x)是以6
为周期的周期函数。
在
f(x)=f(x-1)+f(x+1)
(1)
中用x+1
替换x，得
f(x+1)=f(x)+f(x+2)
(2)
(1)+(2)得
f(x+2)=-f(x-1)
(3)
在（3)中用x+1替换x,得
f(x+3)=-f(x)
(4)
在（4）中用
x+3替换
x，得
f(x+6)=-f(x+3)
(5)
对比
(4)，(5)，得
f(x+6)=f(x)
在(1)中，令
x=0，得
f(0)=f(-1)+f(1)=5
令
x=1，得
f(1)=f(0)+f(2)，f(2)=-2
令
x=-1，得
f(-1)=f(-2)+f(0)，f(-2)=-3
由于
2012=335×6+2
所以
f(2012)+f(-2012)=f(2)+(f(-2)=-5