Question

已知函数f(x)为定义在R上的奇函数

已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x小于零时,f(x)=Inx+2x-6,求f(x)在R上的解析式，并判断函数f(x)的零点的个数

Answer 1

你的题目错了吧，应该是“当x大于零时,f(x)=Inx+2x-6”，不然x<0是lnx没有意义的。。。

如果我猜的对的话过程如下：（如果不对你照着我这样的思路做就行了）
函数f(x)为定义在R上的奇函数
因此，f(-x)=-f(x)且f(0)=0
因为当x>0时f(x)=Inx+2x-6
所以，当x<0时，f(x)=-f(-x)=-[In(-x)-2x-6]=-ln(-x)+2x+6
[f(x)在R上的解析式就可以写出来了，是一个分段函数]
当x>0时f(x)=Inx+2x-6
当x=0时f(x)=0
当x<0时f(x)=-ln(-x)+2x+6

当x>0时f(x)=Inx+2x-6
f'(x)=2+(1/x)是恒大于零的
即 当x>0时f(x)是单调递增的，
又因为当x从大于0的方向趋近于0时，f(x)是负无穷大的，
所以在x>0这部分f(x)有一个零点，
由奇函数的对称性可知，在x<0这部分f(x)也有一个零点
因此，函数f(x)的零点的个数为3（因为f(0)=0）